19.2. В основании правильной четырехугольной призмы ABCDABCD лежит квадрат ABCD со стороной 5. Точки М и N лежат на ребрах АВ и CD соответ ственно, так что АМ = NC = 1, точка Р - середина ребра DD₁. а) Докажите, что сечение призмы плоскостью MNP делит ребро АА, в отно- шении 1: 7. б) Найдите угол между плоскостью сечения и боковой гранью ВВ, С, С, если высота призмы равна 8.

а) Доказательство:

Пусть $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ - правильная четырехугольная призма, в основании которой квадрат $$ABCD$$ со стороной 5. Точки $$M$$ и $$N$$ лежат на ребрах $$AB$$ и $$CD$$ соответственно, так что $$AM = NC = 1$$, точка $$P$$ - середина ребра $$DD_1$$.

Плоскость $$MNP$$ пересекает ребро $$AA_1$$ в точке $$X$$. Нужно доказать, что $$AX : XA_1 = 1 : 7$$.

Пусть $$AA_1 = h$$ - высота призмы. Тогда $$DP = \frac{h}{2}$$.

Рассмотрим плоскость $$ABB_1A_1$$. В этой плоскости лежат точки $$M$$ и $$X$$. Прямая $$MP$$ пересекает $$AA_1$$ в точке $$X$$.

Так как $$AM = 1$$ и $$AB = 5$$, то $$MB = 4$$.

Из подобия треугольников $$AXM$$ и $$DPN$$ следует, что $$\frac{AX}{DP} = \frac{AM}{ND}$$.

$$\frac{AX}{\frac{h}{2}} = \frac{1}{4}$$.

$$AX = \frac{h}{8}$$.

Тогда $$XA_1 = AA_1 - AX = h - \frac{h}{8} = \frac{7h}{8}$$.

$$\frac{AX}{XA_1} = \frac{\frac{h}{8}}{\frac{7h}{8}} = \frac{1}{7}$$.

Таким образом, сечение призмы плоскостью $$MNP$$ делит ребро $$AA_1$$ в отношении $$1 : 7$$, что и требовалось доказать.

б) Найдем угол между плоскостью сечения и боковой гранью $$BB_1C_1C$$, если высота призмы равна 8.

Высота призмы $$h = 8$$. Тогда $$AX = \frac{8}{8} = 1$$, $$DP = \frac{8}{2} = 4>.

Нужно найти угол между плоскостью $$MNP$$ и плоскостью $$BB_1C_1C$$.

Ответ: