25. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 10 и 26, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Решение: 1. Пусть E - середина AB, через которую проходит биссектриса угла ADC. 2. Так как DE - биссектриса угла ADC, то $$\angle ADE = \angle EDC$$. 3. Так как BC || AD, то $$\angle DEC = \angle ADE$$ как накрест лежащие углы. Следовательно, $$\angle EDC = \angle DEC$$, и треугольник CDE - равнобедренный, значит, CE = CD = 26. 4. Проведем высоту BH из точки B к основанию AD. Тогда AH = $$\sqrt{AB^2 - BH^2}$$ 5. Проведем высоту CF из точки C к основанию AD. Тогда FD = $$\sqrt{CD^2 - CF^2}$$ = $$\sqrt{26^2 - CF^2}$$ 6. Так как трапеция ABCD, то BH = CF. 7. Так как E - середина AB, то AE = EB = 5. Пусть AD = x. Тогда AH+FD = x-1. 8. Пусть ED = у. Тогда AE+ED = 10. т.е. ED = 10 - AE = 10 - 5 = 5. 9. Проведем прямую EK параллельно AD. Тогда AD = BK, EC = 26. По теореме Фалеса, EK является средней линией и EK = 0.5 * (BC+AD) => 2EK = BC+AD. 10. Рассмотрим треугольник ABC. Площадь равна полупериметру (p = (a+b+c)/2) * r, где r - радиус вписанной окружности. Герон: S = sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)). Так как биссектриса угла ADC проходит через середину боковой стороны AB, то трапеция равнобедренная. Значит AB=CD. Это противоречит условию, так как AB=10, CD=26. Скорее всего, биссектриса угла BAD проходит через середину стороны CD. 11. Опустим высоту из точки B и из точки С на AD. Пусть AH и DF отрезки на которые разбивает основание. Тогда AD = AH + HF + FD = AH + 1 + FD, т.к. HF = BC = 1. 12. EK - средняя линия. Точка E - лежит на середине AB, EC=CD = 26. ED = (AD-BC)/2 -> ED+BC =AD/2+BC/2+BC = AD/2 + 3BC/2. 13. Пусть AE - медиана к основанию CD. Тогда CD = DE + EC. Решение требует дополнительной информации или уточнения условия. Задачу с текущим условием решить невозможно.