22. Постройте график функции $$y = \begin{cases} x^2 + 4x + 4, \text{ если } x \ge -3; \\ -\frac{3}{x}, \text{ если } x < -3. \end{cases}$$ Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Решение: 1. Рассмотрим первую часть функции: $$y = x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$$. Это парабола с вершиной в точке $$(-2, 0)$$. Так как $$x \ge -3$$, то рассматриваем часть параболы справа от $$x = -3$$. 2. Найдем значение первой части функции при $$x = -3$$: $$y = (-3 + 2)^2 = (-1)^2 = 1$$. 3. Рассмотрим вторую часть функции: $$y = -\frac{3}{x}$$. Это гипербола. Так как $$x < -3$$, то рассматриваем часть гиперболы слева от $$x = -3$$. 4. Найдем предел второй части функции при $$x \to -3$$: $$y = -\frac{3}{-3} = 1$$. 5. Найдем предел второй части функции при $$x \to -\infty$$: $$y \to 0$$. 6. График функции состоит из части параболы $$(x+2)^2$$ для $$x \ge -3$$ и части гиперболы $$-\frac{3}{x}$$ для $$x < -3$$. 7. Прямая $$y = m$$ будет иметь одну общую точку с графиком, если $$m < 0$$ (горизонтальная асимптота гиперболы) или $$m = 0$$ (вершина параболы не включается в рассматриваемый промежуток) и две общие точки, если $$0 < m < 1$$ и $$m > 1$$. 8. При $$m=1$$, прямая $$y=1$$ будет проходить через точку стыка двух функций, при этом будет только одна общая точка, так как $$x=-3$$ входит в интервал определения параболы, но не входит в гиперболу. Ответ: Одна общая точка при $$m < 0$$ и $$m=1$$. Две общие точки при $$m > 1$$ и $$0 < m < 1$$, т.е. при $$m > 0, m
eq 1$$. Общие точки есть при $$m \in(-\infty, 0) \cup \{1\} $$. Две общие точки при $$m \in (0, 1) \cup (1, \infty)$$