C1. Через середину диагонали AC прямоугольника ABCD перпендикулярно этой диагонали проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках K и E соответственно. Известно, что KE = AE = 8 см. Найдите большую сторону прямоугольника.

Обозначим большую сторону прямоугольника через \(w=AB=CD\), а меньшую — через \(h=AD=BC\). Положим \(A=(0,0), B=(w,0), C=(w,h), D=(0,h)\). Середина AC — точка \((w/2,h/2)\); перпендикуляр к AC имеет наклон \(-w/h\).

Он пересекает AD в точке E. Из условия \(AE=8\), значит, \(E=(0,8)\). Так как прямая проходит через середину AC, её пересечение с AD имеет координату \(y=(h+w^2/h)/2\). Поэтому \(h+w^2/h=16\).

Расстояние между E и K по этой прямой равно \(KE=8\). Поскольку вертикальное изменение между E и K равно h, а наклон по модулю равен \(w/h\), получаем \(8=(h/w)\sqrt{w^2+h^2}\). Совместно с предыдущим соотношением это даёт \(w=8\) см и \(h=8\) см: прямоугольник в таком случае является квадратом.

Следовательно, при данных условиях большая сторона равна 8 см (стороны фактически равны).

Ответ: 8 см.