Часть 2. В2. Один из лыжников прошёл 20 км на 20 мин быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что один из них двигался со скоростью, на 2 км/ч большей, чем другой

Решение:

1. Обозначим переменные:
   • Пусть v — скорость более медленного лыжника (км/ч).
   • Тогда скорость более быстрого лыжника — v + 2 (км/ч).
   • Время, которое затратил более медленный лыжник: t₁.
   • Время, которое затратил более быстрый лыжник: t₂.
   • Расстояние (S) = 20 км.
   • 20 минут = 20/60 часа = 1/3 часа.
2. Выразим время через скорость и расстояние:
   • \[ t_1 = \frac{S}{v} = \frac{20}{v} \]
   • \[ t_2 = \frac{S}{v+2} = \frac{20}{v+2} \]
3. Составим уравнение, исходя из условия, что один лыжник прошёл дистанцию на 20 минут быстрее (t₁ - t₂ = 1/3 часа):
   • \[ \frac{20}{v} - \frac{20}{v+2} = \frac{1}{3} \]
4. Решим уравнение:
   • Приведем дроби к общему знаменателю 3v(v+2):
   • \[ \frac{20  3(v+2)}{3v(v+2)} - \frac{20  3v}{3v(v+2)} = \frac{1}{3} \]
   • \[ \frac{60(v+2) - 60v}{3v(v+2)} = \frac{1}{3} \]
   • \[ \frac{60v + 120 - 60v}{3v(v+2)} = \frac{1}{3} \]
   • \[ \frac{120}{3v(v+2)} = \frac{1}{3} \]
   • Умножим обе части на 3v(v+2):
   • \[ 120  3 = 3v(v+2) \]
   • \[ 360 = 3v^2 + 6v \]
   • Перенесем все в одну сторону:
   • \[ 3v^2 + 6v - 360 = 0 \]
   • Разделим на 3:
   • \[ v^2 + 2v - 120 = 0 \]
   • Найдем дискриминант:
   • \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4  1  (-120) = 4 + 480 = 484 \]
   • \[ \sqrt{D} = \sqrt{484} = 22 \]
   • Найдем корни:
   • \[ v_1 = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]
   • \[ v_2 = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \]
   • Так как скорость не может быть отрицательной, принимаем v = 10 км/ч.
5. Найдем скорость более быстрого лыжника:
   • \[ v + 2 = 10 + 2 = 12 \] км/ч.

Ответ: Скорость одного лыжника 10 км/ч, скорость другого 12 км/ч.