176 Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BADM равен 60°. Найдите сторону ромба, если ∠BAD = 45° и расстояние от точки В до плоскости ADM равно 4√3.

Дано: ромб ABCD, плоскость ADM, ∠BAD = 45°, расстояние от B до ADM = 4√3, двугранный угол BADM равен 60°.

Найти: сторону ромба.

Решение:

1. Опустим перпендикуляр BH на плоскость ADM. По условию, BH = 4√3.

2. Проведем BK ⊥ AD. Тогда BK = AB * sin(∠BAD) = AB * sin(45°) = AB * √2/2.

3. Угол между плоскостями ADM и ABCD - это угол между перпендикулярами BH и BK. Пусть этот угол равен 60°.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник BKH. В нем BH = BK * sin(60°) = BK * √3/2.

5. Подставим значение BK из пункта 2: BH = AB * (√2/2) * (√3/2) = AB * (√6/4).

6. По условию, BH = 4√3. Следовательно, AB * (√6/4) = 4√3.

7. Отсюда AB = (4√3 * 4) / √6 = (16√3) / √6 = (16√3 * √6) / 6 = (16√18) / 6 = (16 * 3√2) / 6 = (48√2) / 6 = 8√2.

Ответ: $$8\sqrt{2}$$