177 Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Пусть даны две плоскости α и β, пересекающиеся по прямой c. Рассмотрим плоскость γ, перпендикулярную прямой c.

Докажем, что γ ⊥ α и γ ⊥ β.

1. Возьмем произвольную точку A на прямой c. В плоскости α проведем прямую a, перпендикулярную c в точке A. В плоскости β проведем прямую b, перпендикулярную c в точке A.

2. Так как γ ⊥ c, то γ содержит все прямые, перпендикулярные c, проходящие через точку A. Следовательно, γ содержит прямую a и прямую b.

3. Так как прямая c перпендикулярна плоскости γ, а прямая a лежит в плоскости α и перпендикулярна c, то угол между плоскостями α и γ равен углу между прямой c и плоскостью γ, который равен 90°.

4. Аналогично, так как прямая c перпендикулярна плоскости γ, а прямая b лежит в плоскости β и перпендикулярна c, то угол между плоскостями β и γ равен углу между прямой c и плоскостью γ, который равен 90°.

Следовательно, плоскость γ перпендикулярна каждой из плоскостей α и β.

Ответ: Доказано.