173 Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости АВС, AB=BC=AC=6, BD = 3√7. Найдите двугранные углы DACB, DABC, BDCA.

Дано: Тетраэдр ABCD, CD ⊥ (ABC), AB = BC = AC = 6, BD = 3√7.

Найти: Двугранные углы DACB, DABC, BDCA.

Решение:

1. Т.к. CD ⊥ (ABC), то CD ⊥ AC, CD ⊥ BC, CD ⊥ AB.

Следовательно, угол DACB = 90°.

2. Т.к. AB = BC = AC = 6, то ΔABC - равносторонний. Пусть O - центр ΔABC, тогда AO - радиус описанной окружности.

$$AO = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$$

3. Рассмотрим ΔDOC, он прямоугольный, т.к. CD ⊥ OC.

Рассмотрим ΔBOD, он прямоугольный, т.к. CD ⊥ (ABC), тогда CD ⊥ OB.

$$BD^2 = CD^2 + OB^2 \Rightarrow CD^2 = (3\sqrt{7})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 63 - 12 = 51 \Rightarrow CD = \sqrt{51}$$

4. Рассмотрим двугранный угол DABC.

Т.к. CD ⊥ (ABC), то угол между плоскостями DABC и ABC - это угол CDA.

$$tg(\angle CDA) = \frac{AC}{CD} = \frac{6}{\sqrt{51}} = \frac{6\sqrt{51}}{51} = \frac{2\sqrt{51}}{17}$$ $$\angle CDA = arctg(\frac{2\sqrt{51}}{17})$$

Т.к. ΔABC - равносторонний, то углы CAB, ABC, BCA равны 60°. Поэтому, двугранный угол DABC = $$arctg(\frac{2\sqrt{51}}{17})$$

Т.к. ΔABC - равносторонний, то углы CAB, ABC, BCA равны 60°. Следовательно, все три двугранных угла, образованные плоскостью (ABC) и плоскостями (DAB), (DBC), (DAC), равны, т.е. DABC = DACB = DBCA.

5. Рассмотрим двугранный угол BDCA.

Двугранный угол BDCA - это угол между плоскостями BDC и BCA.

Т.к. CD ⊥ плоскости ABC, то угол между плоскостями BDC и ABC - это угол между плоскостью BDC и точкой C.

$$tg(\angle CBD) = \frac{CD}{BC} = \frac{\sqrt{51}}{6}$$ $$\angle CBD = arctg(\frac{\sqrt{51}}{6})$$

Т.к. BC = AC = 6, то и двугранный угол ADCB = arctg($$\frac{\sqrt{51}}{6}$$).

Ответ: Двугранный угол DACB = 90°, Двугранный угол DABC = $$arctg(\frac{2\sqrt{51}}{17})$$, Двугранный угол BDCA = $$arctg(\frac{\sqrt{51}}{6})$$