178 Плоскости а и в взаимно перпендикулярны и пересекаются по пря- мой с. Докажите, что любая прямая плоскости а, перпендикуляр- ная к прямой с, перпендикулярна к плоскости В. Решение Проведём в плоскости с произвольную прямую АС, перпендику- лярную к прямой с, Сес. Докажем, что СА ІВ. В плоскости в через точку С проведём прямую СВ, перпендикуляр ную к прямой с. Так как САСІ и СВс, то LACСВ — линейный угол одного из двугранных углов, образованных плоскостями а и В. По условию задачи а 1в, поэтому LACВ — прямой, т. е. СА І СВ. Таким образом ресеко

Пусть плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой c. Нужно доказать, что любая прямая плоскости α, перпендикулярная к прямой c, перпендикулярна к плоскости β.

Доказательство:

1. Рассмотрим плоскость α и проведем в ней произвольную прямую a, такую что a ⊥ c.

2. Так как α ⊥ β и α ∩ β = c, то можно построить прямую b в плоскости β, такую что b ⊥ c.

3. Тогда угол между прямыми a и b - это линейный угол двугранного угла между плоскостями α и β. Так как α ⊥ β, то угол между a и b равен 90°.

4. Следовательно, прямая a перпендикулярна прямой b, лежащей в плоскости β. Кроме того, прямая a перпендикулярна прямой c, лежащей в плоскости β.

5. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости. Таким образом, прямая a перпендикулярна плоскости β.

Ответ: Доказано.