172 Катет АС прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежит в плоскости а, а угол между плоскостями а и АВС равен 60° Найдите расстояние от точки В до плоскости а, если АС=5 см, АВ= 13 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой. Катет AC лежит в плоскости α, а угол между плоскостями α и ABC равен 60°. Требуется найти расстояние от точки B до плоскости α, если AC = 5 см, AB = 13 см.

Пусть BH - перпендикуляр, опущенный из точки B на плоскость α. Тогда BH - искомое расстояние. Угол между плоскостями α и ABC - это угол между плоскостью α и прямой AB, то есть угол между AB и ее проекцией на плоскость α.

1. Найдем катет BC из прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора:

$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC, где угол H прямой (так как BH перпендикулярна плоскости α). Угол BCH равен углу между плоскостями α и ABC, то есть 60°.

3. Тогда из прямоугольного треугольника BHC:

$$BH = BC \cdot \sin(\angle BCH) = 12 \cdot \sin(60°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см}$$

Таким образом, расстояние от точки B до плоскости α равно $$6\sqrt{3}$$ см.

Ответ: $$6\sqrt{3}$$