174 Найдите двугранный угол ABCD тетраэдра ABCD, если углы DAB, DAC и АСВ прямые, АС = СВ = 5, DB = 5√5.

Дано: тетраэдр ABCD, углы DAB, DAC и ACB прямые, AC = CB = 5, DB = 5√5.

Найти: двугранный угол ABCD.

Решение:

1. Т.к. углы DAB и DAC прямые, то ребро DA перпендикулярно плоскости ABC.

2. Т.к. угол ACB прямой, то треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный. Тогда AB = √(AC^2 + CB^2) = √(5^2 + 5^2) = √(25 + 25) = √50 = 5√2.

3. Рассмотрим треугольник DAB, он прямоугольный, следовательно DA = √(DB^2 - AB^2) = √((5√5)^2 - (5√2)^2) = √(125 - 50) = √75 = 5√3.

4. Рассмотрим двугранный угол ABCD. Угол между плоскостями ABC и ABD - это угол между линией пересечения этих плоскостей (AB) и плоскостью ACD.

5. Пусть CH - высота, проведенная из точки C к стороне AB в треугольнике ABC. Т.к. треугольник ABC равнобедренный, то CH является и медианой, т.е. H - середина AB.

6. Тогда CH = AC * sin(45°) = 5 * √2/2 = (5√2)/2.

7. Рассмотрим прямоугольный треугольник DAH. Т.к. DA ⊥ (ABC), то DA ⊥ AB. Следовательно, угол DAH прямой.

8. Рассмотрим угол DHC - это угол, образованный плоскостями ABC и ABD. tg(DHC) = DA/CH = (5√3)/((5√2)/2) = (5√3 * 2)/(5√2) = 2√3/√2 = √6.

9. Тогда угол DHC = arctg(√6).

Ответ: arctg(√6)