21. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 11.

Пусть $$V'$$ – объём отсекаемого конуса, $$h'$$ – его высота, $$r'$$ – радиус основания. Пусть $$V$$ – объём исходного конуса, $$h$$ – его высота, $$r$$ – радиус основания. Из условия известно, что $$V' = 11$$. Также известно, что высота отсекаемого конуса составляет $$\frac{1}{3}$$ от высоты исходного конуса, то есть $$h' = \frac{1}{3} h$$. Аналогично, радиус основания отсекаемого конуса в $$\frac{1}{3}$$ раз меньше радиуса основания исходного конуса, то есть $$r' = \frac{1}{3} r$$. $$V' = \frac{1}{3} \pi (r')^2 h' = \frac{1}{3} \pi (\frac{1}{3}r)^2 (\frac{1}{3}h) = \frac{1}{3} \pi \frac{1}{9} r^2 \frac{1}{3} h = \frac{1}{27} (\frac{1}{3} \pi r^2 h) = \frac{1}{27} V$$ То есть $$V' = \frac{1}{27} V$$, откуда $$V = 27 V' = 27 \cdot 11 = 297$$. Ответ: Объём исходного конуса равен 297.