20. Объём конуса равен 256. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Пусть $$V$$ – объём исходного конуса, $$h$$ – его высота, $$r$$ – радиус основания. Тогда $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = 256$$. Высота отсекаемого конуса составляет $$\frac{1}{4}$$ от высоты исходного конуса, то есть $$h' = \frac{1}{4} h$$. Радиус основания отсекаемого конуса также в $$\frac{1}{4}$$ раз меньше радиуса основания исходного конуса, то есть $$r' = \frac{1}{4} r$$. Объём отсекаемого конуса $$V'$$ равен: $$V' = \frac{1}{3} \pi (r')^2 h' = \frac{1}{3} \pi (\frac{1}{4}r)^2 (\frac{1}{4}h) = \frac{1}{3} \pi \frac{1}{16} r^2 \frac{1}{4} h = \frac{1}{64} (\frac{1}{3} \pi r^2 h) = \frac{1}{64} V$$ Так как $$V = 256$$, то $$V' = \frac{1}{64} (256) = 4$$ Ответ: Объём отсекаемого конуса равен 4.