45. Через точку пересечения биссектрис BB₁ и CC₁ треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой BC и пересекающая стороны AB и AC соответственно в точках M и N. Докажите, что MN = BM + CN.

Поскольку MN || BC, то \(\angle BMN = \angle MBC\) и \(\angle CNM = \angle NCB\) (соответственные углы). Так как BB₁ и CC₁ - биссектрисы, то \(\angle MBC = \angle MBB_1\) и \(\angle NCB = \angle NCC_1\). Значит, \(\angle BMN = \angle MBB_1\) и \(\angle CNM = \angle NCC_1\). Следовательно, треугольники BMN и CNM - равнобедренные, то есть BM = MN = CN = BC