43. Через вершину C треугольника ABC проведена прямая, параллельная его биссектрисе AA₁, и пересекающая прямую AB в точке D. Докажите, что AC = AD.

Так как CD параллельна AA₁, то \(\angle CAD = \angle AA_1D\) (накрест лежащие углы) и \(\angle ACA_1 = \angle DA_1A\) (соответственные углы). Так как AA₁ - биссектриса, то \(\angle BAA_1 = \angle CAA_1\). Тогда \(\angle BAA_1 = \angle AA_1D\), следовательно, треугольник ADA₁ равнобедренный (так как углы при основании равны). Значит AD = AC.