Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 43 и CD = 4 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём угол AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Пусть R — радиус описанной окружности. По теореме синусов, для треугольника ABK: \frac{AB}{\sin(\angle AKB)} = 2R_1 где R_1 - радиус описанной окружности треугольника ABK. \frac{43}{\sin(60^\circ)} = 2R_1 \frac{43}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R_1 R_1 = \frac{43}{\sqrt{3}} Угол CKD также равен 60 градусам (вертикальные углы). По теореме синусов, для треугольника CDK: \frac{CD}{\sin(\angle CKD)} = 2R_2 где R_2 - радиус описанной окружности треугольника CDK. \frac{4}{\sin(60^\circ)} = 2R_2 \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R_2 R_2 = \frac{4}{\sqrt{3}} Поскольку ABCD вписанный, то \angle BAC = \angle BDC и \angle ABD = \angle ACD. По теореме косинусов для треугольника AKB: AB^2 = AK^2 + BK^2 - 2 * AK * BK * cos(60) 43^2 = AK^2 + BK^2 - AK * BK По теореме косинусов для треугольника CKD: CD^2 = CK^2 + DK^2 - 2 * CK * DK * cos(60) 4^2 = CK^2 + DK^2 - CK * DK Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность, по теореме Птолемея: AB * CD + BC * AD = AC * BD. Для решения этой задачи необходимо знать либо угол между диагоналями, либо длину других сторон четырехугольника. Поскольку таких данных нет, невозможно найти радиус окружности. Сделаем предположение, что нам нужно найти радиус описанной окружности для треугольника ABC или ABD, или CDA, или BCD. Тогда по теореме синусов, возьмем треугольник ABD. \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = 2R Но угол ADB нам неизвестен. Предположим, что нам нужно найти радиус описанной окружности всего четырехугольника. Тогда, радиус описанной окружности равен \frac{AC}{2\sin(\angle ABC)} = \frac{BD}{2\sin(\angle BCD)}. Для того чтобы найти радиус R, нужно знать углы четырехугольника, но их у нас нет. Дальнейшие вычисления невозможны без дополнительных данных. Ответ: Невозможно определить радиус окружности, описанной около четырёхугольника, на основе имеющихся данных.