Постройте график функции y = 4|x+2| - x^2 - 3x - 2. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Для построения графика функции y = 4|x+2| - x^2 - 3x - 2, разобьем на два случая в зависимости от знака x + 2: 1. Если x \ge -2, то |x+2| = x+2. Тогда y = 4(x+2) - x^2 - 3x - 2 = 4x + 8 - x^2 - 3x - 2 = -x^2 + x + 6. 2. Если x < -2, то |x+2| = -(x+2). Тогда y = -4(x+2) - x^2 - 3x - 2 = -4x - 8 - x^2 - 3x - 2 = -x^2 - 7x - 10. Для первого случая y = -x^2 + x + 6, вершина параболы x_в = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2} и y_в = -(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + 6 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 6 = 6.25. Для второго случая y = -x^2 - 7x - 10, вершина параболы x_в = -\frac{-7}{2(-1)} = -3.5 и y_в = -(-3.5)^2 - 7(-3.5) - 10 = -12.25 + 24.5 - 10 = 2.25. График функции имеет излом в точке x=-2. y(-2) = -(-2)^2+ (-2) + 6 = -4 -2+6 = 0 Чтобы прямая y = m имела с графиком ровно три общие точки, она должна проходить через вершину одной из парабол, которая находится выше оси X и через точку излома графика. Рассмотрим точки пересечения: 1. Парабола для x \ge -2 имеет максимум в (0.5, 6.25) 2. Парабола для x < -2 имеет максимум в (-3.5, 2.25) 3. В точке излома (-2, 0) Прямая y=m пересекает график ровно в трех точках если m=2.25 или m=6.25. Однако, когда m = 0, тоже есть три точки пересечения, две на правой параболе и одна в точке излома. Ответ: m = 0, m = 2.25, m = 6.25.