Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, K – точка пересечения его диагоналей. Найти угол AKD, если ∠ACD = 50° и ∠CAB = 35°. Ответ дайте в градусах.

Краткая запись:

• ABCD – вписанный четырёхугольник
• K – точка пересечения диагоналей
• ∠ACD = 50°
• ∠CAB = 35°
• Найти: ∠AKD

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим угол ∠CAD. Так как углы ∠CAD и ∠CBD опираются на одну дугу CD, то ∠CAD = ∠CBD. Так как углы ∠ADB и ∠ACB опираются на одну дугу AB, то ∠ADB = ∠ACB. Так как углы ∠BAC и ∠BDC опираются на одну дугу BC, то ∠BAC = ∠BDC. Так как углы ∠CAD и ∠CBD опираются на одну дугу CD, то ∠CAD = ∠CBD. Угол ∠CAB = 35°, значит ∠BDC = 35°.
2. Шаг 2: Находим угол ∠ACB. Угол ∠ACB опирается на дугу AB. Угол ∠ADB опирается на дугу AB. Следовательно, ∠ACB = ∠ADB.
3. Шаг 3: Находим угол ∠CAD. Угол ∠CAD опирается на дугу CD. Угол ∠CBD опирается на дугу CD. Следовательно, ∠CAD = ∠CBD.
4. Шаг 4: В треугольнике ADC: ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC.
5. Шаг 5: В треугольнике AKB: ∠AKB = 180° - (∠KAB + ∠KBA). ∠KAB = ∠CAB = 35°. ∠KBA = ∠ABD.
6. Шаг 6: В треугольнике BKC: ∠BKC = 180° - (∠KBC + ∠KCB). ∠KCB = ∠ACB.
7. Шаг 7: В треугольнике CKD: ∠CKD = 180° - (∠KCD + ∠KDC). ∠KCD = ∠ACD = 50°. ∠KDC = ∠BDC.
8. Шаг 8: Углы ∠AKD и ∠BKC – вертикальные, значит ∠AKD = ∠BKC. Углы ∠AKB и ∠CKD – вертикальные, значит ∠AKB = ∠CKD.
9. Шаг 9: В треугольнике ABK: ∠AKB = 180° - ∠KAB - ∠KBA = 180° - 35° - ∠KBA.
10. Шаг 10: В треугольнике CDK: ∠CKD = 180° - ∠KCD - ∠KDC = 180° - 50° - ∠BDC.
11. Шаг 11: Найдем ∠BDC. Так как ABCD вписан в окружность, то ∠BDC = ∠BAC = 35°.
12. Шаг 12: Теперь найдем ∠CKD = 180° - 50° - 35° = 95°.
13. Шаг 13: ∠AKD – смежный с ∠CKD. ∠AKD = 180° - ∠CKD = 180° - 95° = 85°.

Ответ: 85