3. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=11, DK=15, BC=22. Найдите AD.

Дано: Четырехугольник ABCD вписан в окружность, AB и CD пересекаются в точке K, BK = 11, DK = 15, BC = 22. Найти: AD. Решение: 1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность, то углы BAK и CDK равны (опираются на одну дугу BD). 2. Также углы BCK и DAK равны (опираются на одну дугу AC). 3. Следовательно, треугольники BCK и DAK подобны по двум углам. 4. Из подобия треугольников следует пропорция: \(\frac{BK}{AK} = \frac{CK}{DK} = \frac{BC}{AD}\). 5. AK = AB + BK, но мы не знаем AB. CK = CD + DK, но мы не знаем CD. 6. Рассмотрим подобные треугольники ABK и CDK. Тогда: \(\frac{BK}{DK} = \frac{AK}{CK} = \frac{AB}{CD}\) 7. С другой стороны, рассмотрим секущие AK и CK. По теореме о секущихся: \(BK \cdot AK = DK \cdot CK\) или \(BK (AB + BK) = DK(CD + DK)\) 8. Теперь из подобия треугольников BCK и DAK, получаем: \(\frac{BK}{DK} = \frac{BC}{AD}\) \(\frac{11}{15} = \frac{22}{AD}\) 9. Отсюда находим AD: \(AD = \frac{15 \cdot 22}{11} = 15 \cdot 2 = 30\) Ответ: \(AD = 30\).