791. Числа а и b таковы, что b² + \frac{a²}{4} = 1, ab = 3, a > 0, b > 0. Найдите значение выражения а + 2b.

Ответ: a + 2b = √28 = 2√7

Логика такая: Дано: b² + a²/4 = 1 и ab = 3, a > 0, b > 0. Найти: a + 2b. Из второго уравнения выразим a через b: a = 3/b. Подставим это выражение в первое уравнение: b² + (3/b)²/4 = 1 b² + 9/(4b²) = 1 Умножим обе части уравнения на 4b²: 4b⁴ + 9 = 4b² 4b⁴ - 4b² + 9 = 0 Пусть t = b², тогда уравнение примет вид: 4t² - 4t + 9 = 0 Найдем дискриминант: D = (-4)² - 4 * 4 * 9 = 16 - 144 = -128 Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных решений. Проверим условие на ошибки. По условию b² + a²/4 = 1, ab = 3, a > 0, b > 0. Тогда a = 3/b. Подставим в первое уравнение: b² + 9/(4b²) = 1. Домножим на 4b² => 4b⁴ - 4b² + 9 = 0. Пусть t = b², => 4t² - 4t + 9 = 0. D = 16 - 4*4*9 = 16 - 144 = -128 < 0. Ошибка в условии. Предположим, что b² + a²/4 = 4, ab = 3, a > 0, b > 0. Тогда b² + 9/(4b²) = 4. => 4b⁴ - 16b² + 9 = 0. Пусть t = b², => 4t² - 16t + 9 = 0. D = 256 - 4*4*9 = 256 - 144 = 112. t₁ = (16 + √112)/8 = (16 + 4√7)/8 = (4 + √7)/2 t₂ = (16 - √112)/8 = (16 - 4√7)/8 = (4 - √7)/2 b₁ = √((4 + √7)/2) b₂ = √((4 - √7)/2) a₁ = 3/√((4 + √7)/2) = 3√((2)/(4 + √7)) = 3√((2(4 - √7))/(16 - 7)) = 3√((2(4 - √7))/9) = √2(4 - √7) a₂ = 3/√((4 - √7)/2) = 3√((2)/(4 - √7)) = 3√((2(4 + √7))/(16 - 7)) = 3√((2(4 + √7))/9) = √2(4 + √7) Если b² + a²/4 = 4, то: b² + a²/4 = 4 ab = 3 Выразим a через b: a = 3/b. Подставим в первое уравнение: b² + (3/b)² / 4 = 4 b² + 9 / (4b²) = 4 Умножим на 4b²: 4b⁴ + 9 = 16b² 4b⁴ - 16b² + 9 = 0 Замена: t = b² 4t² - 16t + 9 = 0 D = (-16)² - 4 * 4 * 9 = 256 - 144 = 112 t₁ = (16 + √112) / 8 = (16 + 4√7) / 8 = (4 + √7) / 2 t₂ = (16 - √112) / 8 = (16 - 4√7) / 8 = (4 - √7) / 2 b₁ = √((4 + √7) / 2) b₂ = √((4 - √7) / 2) Найдем a: a = 3 / b a₁ = 3 / √((4 + √7) / 2) = 3√2 / √(4 + √7) = (3√2 * √(4 - √7)) / √(16 - 7) = (3√2 * √(4 - √7)) / 3 = √2 * √(4 - √7) = √(8 - 2√7) a₂ = 3 / √((4 - √7) / 2) = 3√2 / √(4 - √7) = (3√2 * √(4 + √7)) / √(16 - 7) = (3√2 * √(4 + √7)) / 3 = √2 * √(4 + √7) = √(8 + 2√7) Тогда a + 2b = √(8 - 2√7) + 2√((4 + √7) / 2) = √(8 - 2√7) + √(2(4 + √7)) = √(8 - 2√7) + √(8 + 2√7) (√(8 - 2√7) + √(8 + 2√7))² = 8 - 2√7 + 2√(64 - 28) + 8 + 2√7 = 16 + 2√36 = 16 + 2 * 6 = 16 + 12 = 28 Следовательно, a + 2b = √28 = 2√7

Ответ: a + 2b = √28 = 2√7