D2. Найдите все несократимые дроби, которые увеличиваются в 3 раза, если увеличить и числитель, и знаменатель на 12.

Обозначим числитель через \(a\), знаменатель — через \(b\). По условию \(\frac{a+12}{b+12}=3\cdot\frac{a}{b}\). После умножения на \(b(b+12)\) получаем:

\(b(a+12)=3a(b+12)\), откуда \(b(6-a)=18a\).

Для положительных числителя и знаменателя необходимо \(a<6\). Проверяем целые значения \(a=1,2,3,4,5\): только при \(a=2\) знаменатель \(b=18a/(6-a)=9\) — целое число и дробь несократима. При остальных значениях знаменатель не является целым числом или дробь сокращается.

Проверка: \(\frac{2+12}{9+12}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}=3\cdot\frac{2}{9}\).

Ответ: \(\frac{2}{9}\).