191. Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Докажите, что плоскости $$ABC_1$$ и $$A_1B_1D$$ перпендикулярны.

Решение: Нужно доказать, что плоскости $$ABC_1$$ и $$A_1B_1D$$ перпендикулярны. Для этого достаточно показать, что прямая, перпендикулярная к одной из этих плоскостей, лежит в другой плоскости. Плоскость $$ABC_1$$ содержит прямую $$BC_1$$, а плоскость $$A_1B_1D$$ содержит прямую $$A_1D$$. В кубе диагонали граней перпендикулярны. $$BD \perp AC$$ (диагонали квадрата). Так как $$A_1B_1D$$ и $$ABC_1$$ не параллельны, а $$BD \perp AC_1$$, значит плоскости перпендикулярны. Доказано.