193. В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ дано: $$D_1B = d$$, $$AC = m$$, $$AB = n$$. Найдите расстояние между: а) прямой $$A_1C_1$$ и плоскостью $$ABC$$; б) плоскостями $$ABB_1$$ и $$DCC_1$$; в) прямой $$DD_1$$ и плоскостью $$ACC_1$$.

Решение: а) Расстояние между прямой $$A_1C_1$$ и плоскостью $$ABC$$ равно высоте параллелепипеда, то есть $$AA_1$$. Известно, что $$D_1B = d$$, $$AC = m$$, $$AB = n$$. Так как $$ABCD$$ - прямоугольник, то $$BC=\sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{m^2 - n^2}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BB_1D_1$$: $$D_1B^2 = BB_1^2 + B_1D_1^2$$. $$BB_1^2 = d^2 - B_1D_1^2$$. Поскольку $$B_1D_1 = BD = AC = m$$, то $$BB_1 = \sqrt{d^2 - m^2}$$. Тогда $$AA_1 = BB_1 = \sqrt{d^2 - m^2}$$. б) Расстояние между плоскостями $$ABB_1$$ и $$DCC_1$$ равно расстоянию между прямыми $$AB$$ и $$CD$$, которое равно $$BC$$. То есть расстояние равно $$BC = \sqrt{m^2 - n^2}$$. в) Расстояние между прямой $$DD_1$$ и плоскостью $$ACC_1$$ равно расстоянию между прямой $$DD_1$$ и прямой $$CC_1$$, так как $$CC_1$$ лежит в плоскости $$ACC_1$$. Это расстояние равно расстоянию от точки $$D$$ до прямой $$AC$$, которое равно высоте, опущенной из вершины $$B$$ на сторону $$AC$$ в треугольнике $$ABC$$. Площадь треугольника $$ABC = \frac{1}{2} * AB * BC = \frac{1}{2}*n*\sqrt{m^2-n^2}$$. С другой стороны, площадь $$ABC = \frac{1}{2}*AC*h$$, где h-искомая высота. \frac{1}{2}*m*h = \frac{1}{2}*n*\sqrt{m^2-n^2}$$. Отсюда h = $$\frac{n\sqrt{m^2-n^2}}{m}$$. Ответ: а) $$\sqrt{d^2 - m^2}$$ б) $$\sqrt{m^2 - n^2}$$ в) $$\frac{n\sqrt{m^2-n^2}}{m}$$