192. Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Решение: Пусть ребро куба равно $$a$$. Тогда диагональ куба равна $$d = a\sqrt{3}$$. Пусть плоскость одной из граней - квадрат со стороной $$a$$. Угол $$\phi$$ между диагональю куба и плоскостью грани – это угол между диагональю куба и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали куба на плоскость грани является диагональ этой грани, равная $$a\sqrt{2}$$. Тогда $$\sin(\phi) = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$. Используем основное тригонометрическое тождество $$\sin^2(\phi) + \cos^2(\phi) = 1$$. Тогда $$\cos^2(\phi) = 1 - \sin^2(\phi) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$, и $$\cos(\phi) = \sqrt{\frac{2}{3}}$$. Тангенс угла $$\phi$$ равен $$\tan(\phi) = \frac{\sin(\phi)}{\cos(\phi)} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$. Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$