Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
116 Дан параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Докажите, что: a) $$DC_1\perp B_1C_1$$ и $$AB \perp A_1D_1$$, если $$\angle BAD = 90^\circ$$; б) $$AB \perp CC_1$$ и $$DD_1\perp A_1B_1$$, если $$AB \perp DD_1$$.
Ответ:
а) Доказательство:
В параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ грань $$A_1B_1C_1D_1$$ является параллелограммом. Так как $$\angle BAD = 90^\circ$$, то $$ABCD$$ – прямоугольник. Следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ тоже прямоугольник.
Так как $$DC_1$$ и $$B_1C_1$$ лежат в плоскости $$A_1B_1C_1D_1$$, и $$\angle B_1C_1D_1=90^\circ$$, то $$DC_1 \perp B_1C_1$$.
Аналогично, $$AB$$ и $$A_1D_1$$ лежат в плоскости $$AA_1D_1D$$, и так как $$\angle A_1D_1A = 90^\circ$$, то $$AB \perp A_1D_1$$.
б) Доказательство:
Так как $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ – параллелепипед, то $$AB \parallel A_1B_1$$. Также $$CC_1 \perp (ABCD)$$, следовательно, $$CC_1 \perp AB$$.
Если $$AB \perp DD_1$$, то $$DD_1 \perp A_1B_1$$, так как $$AB \parallel A_1B_1$$.
Ответ: доказано
Похожие
- 117 В тетраэдре $ABCD$ $BC \perp AD$. Докажите, что $AD \perp MN$, где $M$ и $N$ – середины рёбер $AB$ и $AC$.
- 118 Точки $A$, $M$ и $O$ лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости $\alpha$, а точки $O$, $B$, $C$ и $D$ лежат в плоскости $\alpha$. Какие из следующих углов являются прямыми: $\angle AOB$, $\angle MOC$, $\angle DAM$, $\angle DOA$, $\angle BMO$?
- 119 Прямая $OA$ перпендикулярна к плоскости $OBC$, и точка $O$ является серединой отрезка $AD$. Докажите, что: a) $AB = DB$; б) $AB = AC$, если $OB = OC$; в) $OB = OC$, если $AB = AC$.
- 120 Через точку $O$ пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна $a$, проведена прямая $OK$, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки $K$ до вершин квадрата, если $OK = b$.
- 121 В треугольнике $ABC$ дано: $\angle C=90^\circ$, $AC = 6$ см, $BC = 8$ см, $CM$ — медиана. Через вершину $C$ проведена прямая $CK$, перпендикулярная к плоскости треугольника $ABC$, причём $CK = 12$ см. Найдите $KM$.
- 122 Прямая $CD$ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника $ABC$. Через центр $O$ этого треугольника проведена прямая $OK$, параллельная прямой $CD$. Известно, что $AB = 16\sqrt{3}$ см, $OK = 12$ см, $CD = 16$ см. Найдите расстояния от точек $D$ и $K$ до вершин $A$ и $B$ треугольника.
- 123 Докажите, что если две плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны к прямой $a$, то они параллельны.
- 124 Прямая $PQ$ параллельна плоскости $\alpha$. Через точки $P$ и $Q$ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости $\alpha$, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках $P_1$ и $Q_1$. Докажите, что $PQ=P_1Q_1$.
- 125 Через точки $P$ и $Q$ прямой $PQ$ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости $\alpha$ и пересекающие её соответственно в точках $P_1$ и $Q_1$. Найдите $P_1Q_1$, если $PQ = 15$ см, $PP_1 = 21,5$ см, $QQ_1 = 33,5$ см.
- 126 Прямая $MB$ перпендикулярна к сторонам $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Определите вид треугольника $MBD$, где $D$ — произвольная точка прямой $AC$.
