Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
124 Прямая $$PQ$$ параллельна плоскости $$\alpha$$. Через точки $$P$$ и $$Q$$ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости $$\alpha$$, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках $$P_1$$ и $$Q_1$$. Докажите, что $$PQ=P_1Q_1$$.
Ответ:
Доказательство:
Так как $$PQ \parallel \alpha$$ и $$PP_1 \perp \alpha$$, $$QQ_1 \perp \alpha$$, то $$PP_1 \parallel QQ_1$$. Значит, $$PP_1Q_1Q$$ – параллелограмм (так как $$PP_1 \parallel QQ_1$$ и $$PP_1 = QQ_1$$).
Так как $$PP_1 \perp \alpha$$ и $$QQ_1 \perp \alpha$$, то $$\angle P_1PQ = \angle Q_1QP = 90^\circ$$. Следовательно, $$PP_1Q_1Q$$ – прямоугольник.
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $$PQ = P_1Q_1$$.
Ответ: доказано
Похожие
- 116 Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что: a) $DC_1\perp B_1C_1$ и $AB \perp A_1D_1$, если $\angle BAD = 90^\circ$; б) $AB \perp CC_1$ и $DD_1\perp A_1B_1$, если $AB \perp DD_1$.
- 117 В тетраэдре $ABCD$ $BC \perp AD$. Докажите, что $AD \perp MN$, где $M$ и $N$ – середины рёбер $AB$ и $AC$.
- 118 Точки $A$, $M$ и $O$ лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости $\alpha$, а точки $O$, $B$, $C$ и $D$ лежат в плоскости $\alpha$. Какие из следующих углов являются прямыми: $\angle AOB$, $\angle MOC$, $\angle DAM$, $\angle DOA$, $\angle BMO$?
- 119 Прямая $OA$ перпендикулярна к плоскости $OBC$, и точка $O$ является серединой отрезка $AD$. Докажите, что: a) $AB = DB$; б) $AB = AC$, если $OB = OC$; в) $OB = OC$, если $AB = AC$.
- 120 Через точку $O$ пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна $a$, проведена прямая $OK$, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки $K$ до вершин квадрата, если $OK = b$.
- 121 В треугольнике $ABC$ дано: $\angle C=90^\circ$, $AC = 6$ см, $BC = 8$ см, $CM$ — медиана. Через вершину $C$ проведена прямая $CK$, перпендикулярная к плоскости треугольника $ABC$, причём $CK = 12$ см. Найдите $KM$.
- 122 Прямая $CD$ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника $ABC$. Через центр $O$ этого треугольника проведена прямая $OK$, параллельная прямой $CD$. Известно, что $AB = 16\sqrt{3}$ см, $OK = 12$ см, $CD = 16$ см. Найдите расстояния от точек $D$ и $K$ до вершин $A$ и $B$ треугольника.
- 123 Докажите, что если две плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны к прямой $a$, то они параллельны.
- 125 Через точки $P$ и $Q$ прямой $PQ$ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости $\alpha$ и пересекающие её соответственно в точках $P_1$ и $Q_1$. Найдите $P_1Q_1$, если $PQ = 15$ см, $PP_1 = 21,5$ см, $QQ_1 = 33,5$ см.
- 126 Прямая $MB$ перпендикулярна к сторонам $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Определите вид треугольника $MBD$, где $D$ — произвольная точка прямой $AC$.
