Дано: ∠AOB + ∠BOC = ∠COD + 78°; ∠AOB − ∠BOC = 85°. Найти: ∠COE, ∠EOF, ∠BOF.

На рисунке три пересекающиеся прямые. Лучи OA и OD, OB и OE, OC и OF — противоположные. Обозначим ∠AOB = x, ∠BOC = y. По рисунку ∠AOC и ∠COD смежные, поэтому их сумма равна 180°.

Из условия x + y = ∠COD + 78°, а ∠AOC = x + y. Следовательно, ∠AOC + ∠COD = 180° и ∠AOC − ∠COD = 78°. Отсюда ∠AOC = 129°, ∠COD = 51°.

Имеем x + y = 129° и x − y = 85°. Складываем равенства: 2x = 214°, поэтому x = 107°, y = 22°.

Вертикальные углы равны: ∠COE = ∠AOB = 107°, ∠EOF = ∠BOC = 22°. Углы ∠BOC и ∠COE составляют ∠BOF, поэтому ∠BOF = 22° + 107° = 129°.

Ответ: ∠COE = 107°, ∠EOF = 22°, ∠BOF = 129°.