Дано: РЕКИ, MP = 8, MN = 12, ME = 6. Найти а) МК; б) РЕ:NK; в) SMEP: SMKN.

Решение:

а) Рассмотрим подобные треугольники MEP и треугольник KNP. Составим отношение сторон:

$$\frac{ME}{KN}=\frac{MP}{KP}=\frac{EP}{NP}$$

Из условия задачи нам известны MP и MN. Выразим KP через MK + MP, и KN через MN - KN:

$$MN = MK + KN$$

$$KN = MN - MK$$

$$KP = MP + MK = 8 + MK$$

Найдем MK:

$$\frac{MP}{KP} = \frac{ME}{MK}$$

$$\frac{8}{MK + 8}=\frac{6}{MK}$$

$$8 \cdot MK = 6 \cdot (MK + 8)$$

$$8 \cdot MK = 6 \cdot MK + 48$$

$$2 \cdot MK = 48$$

$$MK = 24$$

б) Рассмотрим подобные треугольники MEP и треугольник KNP. Составим отношение сторон:

$$\frac{ME}{KN}=\frac{MP}{KP}=\frac{EP}{NP}$$

Выразим KN через MN - MK:

$$KN = MN - MK = 12 - 24 = -12$$

KN не может быть отрицательным, следовательно задача не имеет решения.

в) Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

$$\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = k^2 = (\frac{ME}{MK})^2$$

$$k = \frac{ME}{MK}=\frac{6}{24} = \frac{1}{4}$$

$$k^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$$

Следовательно:

$$\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = \frac{1}{16}$$

Ответ: а) MK = 24; б) задача не имеет решения; в) 1/16