1. Дано: $$sin \alpha = \frac{7}{15}, \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$$. Найти $$cos \frac{\alpha}{2}$$.

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой косинуса половинного угла и основным тригонометрическим тождеством. 1. Запишем формулу косинуса половинного угла: $$cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + cos \alpha}{2}$$ 2. Найдем $$cos \alpha$$. Так как $$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$$, то $$\alpha$$ находится во второй четверти, где $$cos \alpha < 0$$. Используем основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$. $$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha$$ Подставим значение $$sin \alpha = \frac{7}{15}$$: $$cos^2 \alpha = 1 - (\frac{7}{15})^2 = 1 - \frac{49}{225} = \frac{225 - 49}{225} = \frac{176}{225}$$ $$cos \alpha = -\sqrt{\frac{176}{225}} = -\frac{\sqrt{176}}{15} = -\frac{\sqrt{16 \cdot 11}}{15} = -\frac{4\sqrt{11}}{15}$$ 3. Теперь найдем $$cos \frac{\alpha}{2}$$. Поскольку $$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$$, то $$\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$$, то есть $$\frac{\alpha}{2}$$ находится в первой четверти, где $$cos \frac{\alpha}{2} > 0$$. $$cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + cos \alpha}{2} = \frac{1 - \frac{4\sqrt{11}}{15}}{2} = \frac{\frac{15 - 4\sqrt{11}}{15}}{2} = \frac{15 - 4\sqrt{11}}{30}$$ $$cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{15 - 4\sqrt{11}}{30}}$$ Ответ: $$\sqrt{\frac{15 - 4\sqrt{11}}{30}}$$