219* Даны две прямые а и в. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает и прямую в, то прямые а и в параллельны.

Дано: Любая прямая, пересекающая прямую a, пересекает и прямую b.

Доказать: Прямые a и b параллельны.

Доказательство от противного:

Предположим, что прямые a и b не параллельны, то есть они либо пересекаются, либо скрещиваются.

1) Если прямые a и b пересекаются в некоторой точке O, то существует плоскость, в которой они лежат. В этой плоскости можно провести прямую c, проходящую через точку, отличную от O, на прямой a, и параллельную прямой b. Тогда прямая c пересекает прямую a, но не пересекает прямую b, что противоречит условию.

2) Если прямые a и b скрещиваются, то они не лежат в одной плоскости. Проведем плоскость через прямую a параллельно прямой b. В этой плоскости проведем прямую c, которая пересекает прямую a. Так как эта плоскость параллельна прямой b, то прямая c не пересекает прямую b, что также противоречит условию.

Поскольку в обоих случаях мы пришли к противоречию, наше предположение неверно.

Ответ: прямые a и b параллельны.