214 Прямая, проходящая через середи- ну биссектрисы AD треугольника АВС и перпендикулярная к AD, пересекает сторону АС в точке М. Докажите, что MD || AB.

Для доказательства, что MD || AB, можно использовать признаки параллельности прямых, основанные на равенстве углов, образующихся при пересечении этих прямых секущей. Нужно показать, что углы, образованные прямой MD с прямой AC, равны соответствующим углам, образованным прямой AB с той же секущей AC.

Так как прямая проходит через середину биссектрисы AD и перпендикулярна AD, обозначим эту середину точкой K. Тогда AK = KD и угол AKM = 90 градусов.

1) Рассмотрим треугольник AMD. Если AD - биссектриса угла BAC, то угол BAD равен углу CAD.

2) Так как прямая, проходящая через K и перпендикулярная AD, пересекает AC в точке M, то угол AKM = 90 градусов. Следовательно, MK - высота треугольника AMD.

3) Если MK - высота и медиана (так как AK = KD) в треугольнике AMD, то этот треугольник равнобедренный, и AM = MD.

4) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть угол MAD равен углу MDA.

5) Угол MAD равен углу BAD (так как AD - биссектриса угла BAC).

6) Следовательно, угол MDA равен углу BAD.

7) Углы MDA и BAD - накрест лежащие углы при прямых MD и AB и секущей AD. Равенство этих углов означает, что MD || AB.

Ответ: доказано, что MD || AB