Для решения этого задания применим Протокол А (Орфография) и Протокол Г (Морфемика):
- Определим часть речи. apology (существительное) - apologize (глагол).
- Проверим безударную гласную в корне: apology - apologize.
- Вставим полученное слово в предложение: Derek refused to apologize for his rude behaviour.
Ответ: apologize