16. Диагональ AC ромба ABCD равна 36, а tg∠BCA = \(\frac{4}{3}\). Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Пошаговое решение:

1. Обозначим половину диагонали AC как AO, тогда AO = \(\frac{AC}{2} = \frac{36}{2} = 18\).
2. \(\operatorname{tg} \angle BCA = \frac{AO}{BO} = \frac{4}{3}\), где BO – половина диагонали BD.
3. Выразим BO: \(BO = \frac{AO}{\operatorname{tg} \angle BCA} = \frac{18}{\frac{4}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{4} = \frac{54}{4} = 13.5\).
4. Вся диагональ BD равна \(2 \cdot BO = 2 \cdot 13.5 = 27\).
5. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 27 = 18 \cdot 27 = 486\).
6. Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Полупериметр равен стороне ромба, умноженной на 2. Сторону найдем по теореме Пифагора: \(AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{18^2 + 13.5^2} = \sqrt{324 + 182.25} = \sqrt{506.25} = 22.5\).
7. Полупериметр равен \(2 \cdot AB = 2 \cdot 22.5 = 45\).
8. Радиус вписанной окружности: \(r = \frac{S}{p} = \frac{486}{45} = 10.8\).

Ответ: 10.8