Диагональ АС ромба ABCD равна 30, а tg∠BCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половина диагонали АС равна 30/2 = 15. Пусть половина диагонали BD равна x. В прямоугольном треугольнике BOC, tg∠BCO = OB/OC = x/15 = 4/3. Отсюда x = (4/3) * 15 = 20. Диагональ BD = 2x = 40. Площадь ромба S = (1/2) * AC * BD = (1/2) * 30 * 40 = 600. Радиус вписанной окружности r = S / (2a), где a - сторона ромба. Сторона ромба AB = √(OC^2 + OB^2) = √(15^2 + 20^2) = √(225 + 400) = √625 = 25. r = 600 / (2 * 25) = 600 / 50 = 12.