11. Диагональ прямоугольника равна 16см и образует с одной из его сторон угол 30. Найдите площадь прямоугольника.

Диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника. Пусть дана диагональ $$d = 16 \text{ см}$$, угол между диагональю и одной из сторон прямоугольника $$\alpha = 30^\circ$$. Тогда, одна из сторон прямоугольника, например $$a$$, может быть найдена как $$a = d \cdot \cos(\alpha)$$, а другая сторона $$b = d \cdot \sin(\alpha)$$. Площадь прямоугольника будет $$S = a \cdot b$$.

$$a = 16 \text{ см} \cdot \cos(30^\circ) = 16 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \sqrt{3} \text{ см}$$

$$b = 16 \text{ см} \cdot \sin(30^\circ) = 16 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 8 \text{ см}$$

$$S = a \cdot b = 8 \sqrt{3} \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 64 \sqrt{3} \text{ см}^2 ≈ 110.85 \text{ см}^2$$

Ответ: $$64 \sqrt{3} \text{ см}^2 ≈ 110.85 \text{ см}^2$$