Длина кругового сектора равна 4л см, а площадь сектора - 16л см². Найти градусную меру дуги и радиус окружности.

Шаг 1: Формула длины дуги и площади сектора

Длина дуги l кругового сектора: \[l = R \theta\] где R - радиус окружности, θ - угловая мера дуги в радианах. Площадь S кругового сектора: \[S = \frac{1}{2} R^2 \theta\]

Шаг 2: Найдем радиус окружности

Из формулы длины дуги выразим θ: \[\theta = \frac{l}{R}\] Подставим в формулу площади сектора: \[S = \frac{1}{2} R^2 \frac{l}{R}\] \[S = \frac{1}{2} R l\] Выразим R: \[R = \frac{2S}{l}\] Дано l = 4π см, S = 16π см²: \[R = \frac{2 \times 16\pi}{4\pi}\] \[R = 8 \text{ см}\]

Шаг 3: Найдем угловую меру дуги в радианах

Подставим R = 8 см в формулу для θ: \[\theta = \frac{l}{R} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2} \text{ радиан}\]

Шаг 4: Найдем градусную меру дуги

Переведем радианы в градусы: \[\theta_{\text{градусы}} = \theta_{\text{радианы}} \times \frac{180}{\pi}\] \[\theta_{\text{градусы}} = \frac{\pi}{2} \times \frac{180}{\pi}\] \[\theta_{\text{градусы}} = 90^\circ\]