Периметр правильного треугольника, описанного около окружности, равен 12√6см. Найти площадь квадрата, вписанного в данную окружность.

Шаг 1: Найдем сторону правильного треугольника

Периметр P правильного треугольника равен: \[P = 3a\] где a - сторона треугольника. Дано P = 12√6 см, следовательно: \[12\sqrt{6} = 3a\] \[a = \frac{12\sqrt{6}}{3} = 4\sqrt{6} \text{ см}\]

Шаг 2: Найдем радиус вписанной окружности

Радиус r вписанной в правильный треугольник окружности связан со стороной a формулой: \[r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\] \[r = \frac{4\sqrt{6}\sqrt{3}}{6}\] \[r = \frac{4\sqrt{18}}{6} = \frac{4 \cdot 3\sqrt{2}}{6} = 2\sqrt{2} \text{ см}\]

Шаг 3: Найдем сторону квадрата, вписанного в окружность

Радиус окружности R связан со стороной b вписанного квадрата формулой: \[R = \frac{b\sqrt{2}}{2}\] Так как радиус вписанной в треугольник окружности равен радиусу окружности, описанной около квадрата, то R = r = 2√2 см. Следовательно: \[2\sqrt{2} = \frac{b\sqrt{2}}{2}\] \[b = \frac{2 \cdot 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4 \text{ см}\]

Шаг 4: Найдем площадь квадрата

Площадь S квадрата равна: \[S = b^2\] \[S = 4^2 = 16 \text{ см}^2\]