3. Длина линии пересечения сферы и плоскости, проходящей через конец диаметра под углом 60° к нему, равна $$5\pi$$ см. Найдите диаметр сферы.

Линия пересечения сферы и плоскости - окружность. Плоскость проходит через конец диаметра сферы под углом 60°. Пусть $$d$$ - диаметр сферы, $$r$$ - радиус окружности, полученной в сечении. Тогда $$r = d \cdot \sin 60° = d \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$. Длина окружности равна $$2\pi r = 5\pi$$. Отсюда $$2\pi d \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\pi$$, значит $$d = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$ см. Ответ: $$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$ см