2. Высота конуса равна 6см, угол при вершине осевого сечения равен 90°. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 30° и площадь боковой поверхности конуса.

Так как угол при вершине осевого сечения равен 90°, то осевое сечение является прямоугольным треугольником, а образующие конуса, являющиеся катетами этого треугольника, равны между собой и равны $$l = h = 6$$ см. Радиус основания конуса равен половине образующей, так как в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. То есть $$r = \frac{l}{ \sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$$ см. Площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 30°, равна $$S_{сеч} = \frac{1}{2} l^2 \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \sin 30° = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{1}{2} = 9$$ см². Площадь боковой поверхности конуса равна $$S_{бок} = \pi rl = \pi \cdot 3\sqrt{2} \cdot 6 = 18\sqrt{2}\pi$$ см². Ответ: $$S_{сеч} = 9$$ см², $$S_{бок} = 18\sqrt{2}\pi$$ см².