5. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120°. Диагональ сечения равна 20 см и удалена от оси на 3 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Пусть $$d$$ - диагональ сечения, $$h$$ - высота цилиндра, $$a$$ - сторона сечения, параллельная оси цилиндра, $$r$$ - радиус основания цилиндра, $$x$$ - расстояние от оси до сечения. Тогда $$d^2 = h^2 + a^2$$. Угол $$120°$$ соответствует $$\frac{1}{3}$$ окружности, тогда $$a = 2 \sqrt{r^2 - x^2}$$. Известно, что $$d = 20$$ см, $$x = 3$$ см. Найдем радиус основания. Так как угол равен $$120^\circ$$, то половина угла равна $$60^\circ$$. Расстояние от оси до сечения равно $$x = r \cos 60^\circ = 3$$, откуда $$r = \frac{3}{\cos 60^\circ} = \frac{3}{1/2} = 6$$ см. Тогда $$a = 2 \sqrt{6^2 - 3^2} = 2 \sqrt{36 - 9} = 2 \sqrt{27} = 6\sqrt{3}$$ см. $$h = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{20^2 - (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{400 - 108} = \sqrt{292} = 2\sqrt{73}$$ см. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $$S_{бок} = 2\pi rh = 2\pi \cdot 6 \cdot 2\sqrt{73} = 24\sqrt{73}\pi$$ см². Ответ: $$24\sqrt{73}\pi$$ см².