892. (Для работы в парах.) Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительным чисел, докажите, что при а≥ 0, b ≥ 0. c > 0 верно неравенств a) (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc; б) \frac{(a+1)(b + 1)(a+c)(b + c)}{16} > abc.

• a) Доказательство неравенства (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc:
• По условию, для неотрицательных чисел a и b:

\(\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}\)

\(a + b \ge 2\sqrt{ab}\)

• Аналогично для b и c, a и c:

\(b + c \ge 2\sqrt{bc}\)

\(a + c \ge 2\sqrt{ac}\)

• Перемножим три полученных неравенства:

\((a + b)(b + c)(a + c) \ge 2\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{bc} \cdot 2\sqrt{ac}\)

\((a + b)(b + c)(a + c) \ge 8\sqrt{a^2b^2c^2}\)

\((a + b)(b + c)(a + c) \ge 8abc\)

• б) Доказательство неравенства \(\frac{(a+1)(b + 1)(a+c)(b + c)}{16} > abc\):
• По условию, для неотрицательных чисел a и 1:

\(\frac{a + 1}{2} \ge \sqrt{a}\)

\(a + 1 \ge 2\sqrt{a}\)

• Аналогично для b и 1, a и c, b и c:

\(b + 1 \ge 2\sqrt{b}\)

\(a + c \ge 2\sqrt{ac}\)

\(b + c \ge 2\sqrt{bc}\)

• Перемножим четыре полученных неравенства:

\((a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) \ge 2\sqrt{a} \cdot 2\sqrt{b} \cdot 2\sqrt{ac} \cdot 2\sqrt{bc}\)

\((a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) \ge 16\sqrt{a^2b^2c^2}\)

\((a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) \ge 16abc\)

Разделим обе части неравенства на 16:

\(\frac{(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)}{16} \ge abc\)

• Так как с > 0, неравенство строгое:

\(\frac{(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)}{16} > abc\)

Цифровой атлет!

Сэкономил время — спас вечер. Иди чиллить, ты это заслужил

Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена