7.2. Доказать тождество: $$ctg^2 \alpha + cos^2 \alpha - \frac{1}{sin^2 \alpha} = -sin^2 \alpha$$

Преобразуем выражение, используя основные тригонометрические тождества. Начнем с левой части уравнения: $$ctg^2 \alpha + cos^2 \alpha - \frac{1}{sin^2 \alpha}$$ Выразим $$ctg^2 \alpha$$ через $$cos$$ и $$sin$$: $$ctg^2 \alpha = \frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha}$$ Подставим это в исходное выражение: $$\frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha} + cos^2 \alpha - \frac{1}{sin^2 \alpha}$$ Приведем к общему знаменателю $$sin^2 \alpha$$: $$\frac{cos^2 \alpha + cos^2 \alpha \cdot sin^2 \alpha - 1}{sin^2 \alpha}$$ Заменим 1 на $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha$$: $$\frac{cos^2 \alpha + cos^2 \alpha \cdot sin^2 \alpha - (sin^2 \alpha + cos^2 \alpha)}{sin^2 \alpha}$$ Раскроем скобки: $$\frac{cos^2 \alpha + cos^2 \alpha \cdot sin^2 \alpha - sin^2 \alpha - cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha}$$ Сократим $$cos^2 \alpha$$: $$\frac{cos^2 \alpha \cdot sin^2 \alpha - sin^2 \alpha}{sin^2 \alpha}$$ Вынесем $$sin^2 \alpha$$ за скобки: $$\frac{sin^2 \alpha (cos^2 \alpha - 1)}{sin^2 \alpha}$$ Сократим $$sin^2 \alpha$$: $$cos^2 \alpha - 1$$ Используем тождество $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$, следовательно, $$cos^2 \alpha - 1 = -sin^2 \alpha$$ Таким образом, $$ctg^2 \alpha + cos^2 \alpha - \frac{1}{sin^2 \alpha} = -sin^2 \alpha$$. Тождество доказано.