7.5. Доказать тождество: $$\frac{1}{2}(\frac{cos \alpha}{1-sin \alpha} - \frac{cos \alpha}{1+sin \alpha}) = tg \alpha$$

Преобразуем выражение в скобках, приведя к общему знаменателю: $$\frac{cos \alpha}{1-sin \alpha} - \frac{cos \alpha}{1+sin \alpha} = \frac{cos \alpha(1+sin \alpha) - cos \alpha(1-sin \alpha)}{(1-sin \alpha)(1+sin \alpha)}$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{cos \alpha + cos \alpha sin \alpha - cos \alpha + cos \alpha sin \alpha}{1 - sin^2 \alpha}$$ Упростим числитель: $$\frac{2 cos \alpha sin \alpha}{1 - sin^2 \alpha}$$ Используем основное тригонометрическое тождество $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$, следовательно $$1 - sin^2 \alpha = cos^2 \alpha$$: $$\frac{2 cos \alpha sin \alpha}{cos^2 \alpha}$$ Сократим $$cos \alpha$$: $$\frac{2 sin \alpha}{cos \alpha}$$ Теперь подставим это в исходное выражение: $$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$$ Используем определение тангенса $$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$$: $$tg \alpha$$ Таким образом, $$\frac{1}{2}(\frac{cos \alpha}{1-sin \alpha} - \frac{cos \alpha}{1+sin \alpha}) = tg \alpha$$. Тождество доказано.