7.3. Доказать тождество: $$2sin \alpha \cdot cos \alpha \cdot cos 2\alpha = \frac{1}{2}sin 4\alpha$$

Используем формулу синуса двойного угла: $$sin 2x = 2 sin x cos x$$ Тогда, $$2sin \alpha \cdot cos \alpha = sin 2\alpha$$ Подставим это в исходное выражение: $$sin 2\alpha \cdot cos 2\alpha$$ Умножим и разделим на 2: $$\frac{1}{2} \cdot 2 sin 2\alpha \cdot cos 2\alpha$$ Снова используем формулу синуса двойного угла, где $$x = 2\alpha$$: $$2 sin 2\alpha \cdot cos 2\alpha = sin (2 \cdot 2\alpha) = sin 4\alpha$$ Подставим это обратно: $$\frac{1}{2} sin 4\alpha$$ Таким образом, $$2sin \alpha \cdot cos \alpha \cdot cos 2\alpha = \frac{1}{2}sin 4\alpha$$. Тождество доказано.