7.4. Доказать тождество: $$\frac{1}{sin \alpha} - cos \alpha \cdot ctg \alpha = sin \alpha$$

Преобразуем выражение, используя известные тригонометрические тождества. Заменим $$ctg \alpha$$ на $$\frac{cos \alpha}{sin \alpha}$$: $$\frac{1}{sin \alpha} - cos \alpha \cdot \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$$ Приведем к общему знаменателю $$sin \alpha$$: $$\frac{1 - cos^2 \alpha}{sin \alpha}$$ Используем основное тригонометрическое тождество $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$, следовательно $$1 - cos^2 \alpha = sin^2 \alpha$$: $$\frac{sin^2 \alpha}{sin \alpha}$$ Сократим $$sin \alpha$$: $$sin \alpha$$ Таким образом, $$\frac{1}{sin \alpha} - cos \alpha \cdot ctg \alpha = sin \alpha$$. Тождество доказано.