7.1. Доказать тождество: $$(sin \alpha + cos \alpha)^2 + (sin \alpha - cos \alpha)^2 = 2$$

Разложим квадраты сумм и разностей: $$(sin \alpha + cos \alpha)^2 = sin^2 \alpha + 2sin \alpha cos \alpha + cos^2 \alpha$$ $$(sin \alpha - cos \alpha)^2 = sin^2 \alpha - 2sin \alpha cos \alpha + cos^2 \alpha$$ Сложим эти выражения: $$sin^2 \alpha + 2sin \alpha cos \alpha + cos^2 \alpha + sin^2 \alpha - 2sin \alpha cos \alpha + cos^2 \alpha = 2sin^2 \alpha + 2cos^2 \alpha$$ Вынесем 2 за скобки: $$2(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha)$$ Используем основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$ $$2(1) = 2$$ Таким образом, $$(sin \alpha + cos \alpha)^2 + (sin \alpha - cos \alpha)^2 = 2$$. Тождество доказано.