Докажите, что ABCD — параллелограмм (рис. 8). Диагонали AC и BD пересекаются в O; по отметкам AO = OC и ∠BCA = ∠CAD.

Question

Вопрос:

Докажите, что ABCD — параллелограмм (рис. 8). Диагонали AC и BD пересекаются в O; по отметкам AO = OC и ∠BCA = ∠CAD.

Accepted Answer

∠BCA и ∠CAD — накрест лежащие углы при прямых BC и AD и секущей AC. Следовательно, BC ∥ AD.

Рассмотрим △BOC и △DOA. У них ∠BCO = ∠DAO, поскольку BC ∥ AD, а ∠BOC = ∠DOA как вертикальные. Кроме того, OC = OA по отметкам. Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам; в частности, BO = OD.

Таким образом, диагонали AC и BD делятся точкой O пополам. По признаку параллелограмма ABCD — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм.