Докажите, что ABCD — параллелограмм (рис. 9). Диагонали AC и BD пересекаются в O; по отметкам AO = OC и ∠CBD = ∠BDA.

Question

Вопрос:

Докажите, что ABCD — параллелограмм (рис. 9). Диагонали AC и BD пересекаются в O; по отметкам AO = OC и ∠CBD = ∠BDA.

Accepted Answer

∠CBD и ∠BDA — накрест лежащие углы при прямых BC и AD и секущей BD. Следовательно, BC ∥ AD.

Рассмотрим △BOC и △DOA. У них ∠BCO = ∠DAO, поскольку BC ∥ AD, а ∠BOC = ∠DOA как вертикальные. Также OC = OA по отметкам. Следовательно, △BOC = △DOA по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому BO = OD.

Диагонали AC и BD делятся точкой O пополам. По признаку параллелограмма ABCD — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм.