1. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А (1;-5), В (2; 3), C (-3; 1), D(-4; -7) является параллелограммом.

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны попарно параллельны и равны. Это эквивалентно доказательству, что векторы, образованные противоположными сторонами, равны.

Найдем векторы AB и DC:

$$\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 1; 3 - (-5)) = (1; 8)$$.

$$\overrightarrow{DC} = C - D = (-3 - (-4); 1 - (-7)) = (1; 8)$$.

Найдем векторы AD и BC:

$$\overrightarrow{AD} = D - A = (-4 - 1; -7 - (-5)) = (-5; -2)$$.

$$\overrightarrow{BC} = C - B = (-3 - 2; 1 - 3) = (-5; -2)$$.

Так как $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$$ и $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$$, то противоположные стороны четырехугольника ABCD попарно равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны и равны.