138 Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник — равнобедренный.

Пусть дан треугольник ABC, в котором биссектриса угла A является высотой.

Докажем, что треугольник ABC - равнобедренный.

1. Обозначим точку пересечения биссектрисы угла A и стороны BC как точку H. Тогда AH - биссектриса и высота.
2. Так как AH - биссектриса, то ∠BAH = ∠CAH.
3. Так как AH - высота, то AH ⊥ BC, то есть ∠BHA = ∠CHA = 90°.
4. Рассмотрим треугольники ABH и ACH. У них: AH - общая сторона, ∠BAH = ∠CAH и ∠BHA = ∠CHA. Следовательно, △ABH = △ACH по стороне и двум прилежащим углам.
5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB = AC.
6. Таким образом, в треугольнике ABC стороны AB и AC равны, а значит, треугольник ABC - равнобедренный.

Ответ: Треугольник ABC - равнобедренный.